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首先，我要感謝國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（香港）委員會(huì)及香港教育署讓我有機(jī)會(huì)在“數(shù)學(xué)普及講座及交流系列”上作講演。尤其要感謝國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（香港）委員會(huì)主席岑嘉評(píng)教授及譚炳均博士。我也要感謝今天來(lái)出席會(huì)議的各位香港的中學(xué)老師和同學(xué)。再過(guò)三天就要過(guò)春節(jié)了，大家都很忙，有很多事情要做，可是還抽空來(lái)聽(tīng)我的講演，使我很感動(dòng)。
 
這次講演，打算講以下幾點(diǎn)：
一、百年前的講演
二、百年前的講演的啟示
三、算術(shù)與代數(shù)
四、幾何與三角
五、微積分
六、幾點(diǎn)啟示
七、結(jié)束語(yǔ)
 
一、百年前的講演
 
今天是2001年1月20日，二十一世紀(jì)剛剛開(kāi)始了20天。在100年前，即1904年8月5日，德國(guó)數(shù)學(xué)家DavidHilbert（1862―1943）在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問(wèn)題》的著名講演。這是載入數(shù)學(xué)史冊(cè)的重要講演。他在講演的前言和結(jié)束語(yǔ)中，對(duì)數(shù)學(xué)的意義、源泉、發(fā)展過(guò)程及研究方法等，發(fā)表了許多精辟的見(jiàn)解。而整個(gè)講演的主體，則是他根據(jù)十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì)而提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這些問(wèn)題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域。一百年來(lái)，這些問(wèn)題一直激發(fā)著數(shù)學(xué)家們濃厚的研究興趣，100年過(guò)去了，這些問(wèn)題近一半已經(jīng)解決或基本解決，但還有些問(wèn)題雖取得了重大進(jìn)展，但未最后解決，如：Riemann猜想，Goldbach猜想等。
 
100年過(guò)去了，對(duì)Hilbert在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)在回過(guò)頭來(lái)看，有不少評(píng)論。但是很多人認(rèn)為：這些問(wèn)題，對(duì)推動(dòng)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了很大的作用，當(dāng)然也有評(píng)論說(shuō)其不足之處，例如：這23個(gè)問(wèn)題中未能包括拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何等在二十世紀(jì)成為前沿學(xué)科的領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)問(wèn)題；除數(shù)學(xué)物理外很少涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)待等。當(dāng)然更不會(huì)想到二十世紀(jì)電腦的大發(fā)展及其對(duì)數(shù)學(xué)的重大影響。二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展實(shí)際上是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了Hilbert問(wèn)題所預(yù)示的范圍。
 
D。Hilbert是十九世紀(jì)和二十世紀(jì)數(shù)學(xué)交界線上高聳著的三位偉大數(shù)學(xué)家之一，另外二位是HenriPoincare（1854―1912）及FelixKlein（1849―1925），他們的數(shù)學(xué)思想及對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，既反射出十九世紀(jì)數(shù)學(xué)的光輝，也照耀著二十世紀(jì)數(shù)學(xué)前進(jìn)的道路。
 
D。Hilbert是在上一個(gè)世紀(jì)，新、舊世紀(jì)交替之際作的講演，現(xiàn)在又一個(gè)新的世紀(jì)開(kāi)始了，再來(lái)看看他的講演，其中一些話，現(xiàn)在仍然適用，例如在講演一開(kāi)始，他說(shuō)“我們當(dāng)中有誰(shuí)不想揭開(kāi)未來(lái)的帷幕，看一看在今后的世紀(jì)里我們這門科學(xué)發(fā)展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要數(shù)學(xué)思潮將追求什么樣的特殊目標(biāo)？在廣闊而豐富的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)域，新世紀(jì)將會(huì)帶來(lái)什么樣的新方法和新成果？”他還接著說(shuō)：“歷史教導(dǎo)我們，科學(xué)的發(fā)展具有連續(xù)性。我們知道，每個(gè)時(shí)代都有它自己的問(wèn)題，這些問(wèn)題后來(lái)或者得以解決，或者因?yàn)闊o(wú)所裨益而被拋到一邊并代之以新的問(wèn)題。因?yàn)橐粋€(gè)偉大時(shí)代的結(jié)束，不僅促使我們追潮過(guò)去，而且把我們的思想引向那未知的將來(lái)。”
 
二十世紀(jì)無(wú)疑是一個(gè)數(shù)學(xué)的偉大時(shí)代，二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)將會(huì)更加輝煌。“每個(gè)時(shí)代都有它自己的問(wèn)題”，二十世紀(jì)來(lái)臨時(shí)，Hilbert提出了他認(rèn)為是那個(gè)世紀(jì)的23個(gè)問(wèn)題。這些問(wèn)題對(duì)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了很大的推動(dòng)作用，但二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的成就卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出他所提出的問(wèn)題。那么二十一世紀(jì)的問(wèn)題又是什么呢？Hilbert1900年在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出這些問(wèn)題時(shí)，才38歲，但已經(jīng)是當(dāng)時(shí)舉世公認(rèn)的德高望重的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家之一。大家知道，2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)將在中國(guó)北京召開(kāi)，這是國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)第一次在第三世界召開(kāi)，那么在這新舊世紀(jì)交替之際，會(huì)不會(huì)有像Hilbert這樣崇高威望的人在會(huì)上提出他認(rèn)為的二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題或是以其他的形式展望二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)？這個(gè)我當(dāng)然不知道，但這些年來(lái)，已有不少數(shù)學(xué)家提出他自己認(rèn)為的二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但往往是“仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智”。
 
二、百年前的講演的啟示
 
對(duì)Hilbert的23個(gè)問(wèn)題不在這里介紹了，因?yàn)樗搅酥袑W(xué)數(shù)學(xué)的范圍。但百年前，Hilbert演講中對(duì)數(shù)學(xué)的一些見(jiàn)解都是非常的深刻，百年過(guò)去了，重讀他的演講，依然得到很多啟示，我也不可能在這短短的一個(gè)多小時(shí)內(nèi)，對(duì)他的演講的各個(gè)部分來(lái)闡述自己的體會(huì)，我只想講一點(diǎn)對(duì)他說(shuō)的其中的一段話自己的粗淺認(rèn)識(shí)。
 
從十七世紀(jì)六十年代，微積分發(fā)明以來(lái)，數(shù)學(xué)得到了極大的發(fā)展，分支也愈來(lái)愈多。開(kāi)始時(shí)一些大數(shù)學(xué)家，對(duì)各個(gè)分支都懂，并且做出了很重大的貢獻(xiàn)。但后來(lái)數(shù)學(xué)的分支愈分愈細(xì)，全面懂得各個(gè)分支的數(shù)學(xué)家愈來(lái)愈少，到十九世紀(jì)末，Hilbert做講演時(shí)，已經(jīng)是這種情況，于是在講演中，他說(shuō)了這樣一段話：“然而，我們不禁要問(wèn)，隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷擴(kuò)展，單個(gè)的研究者想要了解這些知識(shí)的所有部門豈不是變得不可能了嗎？為了回答這個(gè)問(wèn)題，我想指出：數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊，數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種特點(diǎn)是根深蒂固的。因此，對(duì)于個(gè)別的數(shù)學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，只要掌握了這些有力的工具和簡(jiǎn)單的方法，他就有可能在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中比其它科學(xué)更容易地找到前進(jìn)的道路。”。一百年過(guò)去了，數(shù)學(xué)發(fā)展得更為廣闊與深人，分支愈來(lái)愈多，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已有六十個(gè)二級(jí)學(xué)科、四百多個(gè)三級(jí)學(xué)科，更是不得了，所以Hilbert的上述這段話現(xiàn)在顯得更為重要。不僅如此，Hilbert的這段話實(shí)際上講的是數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史過(guò)程，十分深刻地揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展是一個(gè)新陳代謝，吐故納新的過(guò)程，是一些新的有力的工具，更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)，與一些陳舊的、復(fù)雜的東西被拋棄的過(guò)程，是“高級(jí)”的數(shù)學(xué)替代“低級(jí)”的數(shù)學(xué)的過(guò)程，而“數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種特點(diǎn)是根深蒂固的。”事實(shí)上，在數(shù)學(xué)的歷史中，一些新的有力的工具，更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)，往往標(biāo)志著一個(gè)或多個(gè)數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，是一些老的分支的衰落甚至結(jié)束。
 
回顧一下我們從小開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，就是在重復(fù)這個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程。一些數(shù)學(xué)雖然后來(lái)被更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法所產(chǎn)生的新的數(shù)學(xué)所替代了，即“低級(jí)”的被“高級(jí)”的所替代了，但在人們一生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，卻不能只學(xué)習(xí)“高級(jí)”的，而完全不學(xué)習(xí)“低級(jí)”的，完全省略掉學(xué)習(xí)“低級(jí)”的過(guò)程。這是因?yàn)槿藗冸S著年齡的不斷增加，學(xué)習(xí)與他的年齡與智力相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)才是最佳選擇，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，沒(méi)有“低級(jí)”的數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)，很難理解與學(xué)習(xí)好“高級(jí)”的數(shù)學(xué)。
 
以下我們從Hilbert講演中的這一段精辟的論述的角度來(lái)認(rèn)識(shí)我們的中小學(xué)的數(shù)學(xué)課程。我只是從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史的角度來(lái)討論問(wèn)題，為大家從數(shù)學(xué)教育的角度來(lái)討論問(wèn)題作參考。但我必須強(qiáng)調(diào)的是：從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史的角度來(lái)考慮問(wèn)題與從數(shù)學(xué)教育的角度來(lái)考慮問(wèn)題雖有聯(lián)系，但是是不一樣的。
 
三、算術(shù)與代數(shù)
 
人類有數(shù)的概念，與人類開(kāi)始用火一樣古老，大約在三十萬(wàn)年前就有了。但是有文字記載的數(shù)學(xué)到公元前3400年左右才出現(xiàn)。至于數(shù)字的四則運(yùn)算則更晚，在我國(guó)，《九章算術(shù)》是古代數(shù)學(xué)最重要的著作，是從先秦到西漢中葉的眾多學(xué)者不斷修改、補(bǔ)充而成的一部數(shù)學(xué)著作，成書年代至遲在公元前一世紀(jì)。這是一本問(wèn)題集形式的書，全書共246個(gè)題，分成九章，包含十分豐富的內(nèi)容。在這本書中有分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則、比例算法、盈不足術(shù)、解三元線性代數(shù)方程組、正負(fù)數(shù)、開(kāi)方以及一些計(jì)算幾何圖形的面積與體積等。在西方，也或遲或早地出現(xiàn)了這些內(nèi)容，而這些內(nèi)容包括我們從小學(xué)一直到中學(xué)所學(xué)習(xí)“算術(shù)”課程的全部?jī)?nèi)容。也就是說(shuō)人類經(jīng)過(guò)了幾千年才逐步弄明白建立起來(lái)的“算術(shù)”的內(nèi)容，現(xiàn)在每個(gè)人在童年時(shí)代花幾年才逐步弄明白建立起來(lái)的“算術(shù)”的內(nèi)容，現(xiàn)在每個(gè)人在童年時(shí)代花幾年就全部學(xué)會(huì)了。對(duì)于“算術(shù)”來(lái)講，“真正的進(jìn)展”是由于“更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)”，這個(gè)工具與方法是“數(shù)字符號(hào)化”，從而產(chǎn)生了另一門數(shù)學(xué)“代數(shù)”，即現(xiàn)在中學(xué)中的“代數(shù)”課程的內(nèi)容。在我國(guó)，這已是宋元時(shí)代（約十三世
 
紀(jì)五六十年代），當(dāng)時(shí)的著作中，有“天元術(shù)”和“四元術(shù)”，也就是讓未知數(shù)記作為“天元”、“x”，后來(lái)將二個(gè)、三個(gè)及四個(gè)未知數(shù)記作為“天”、“地”、“人”、“物”等四元，也就是相當(dāng)于現(xiàn)在用x，y，z，w來(lái)表達(dá)四個(gè)未知數(shù)，有了這些“元”，也就可以解一些代數(shù)方程與聯(lián)立線性代數(shù)方程組了。在西方徹底完成數(shù)字符號(hào)化是在十六世紀(jì)?，F(xiàn)在中學(xué)生學(xué)習(xí)的“代數(shù)”的內(nèi)容：包括一元二次方程的解，多元（一般為二元，三元至多四元）聯(lián)立方程的解等。當(dāng)然在“數(shù)字符號(hào)化”之前，一元二次方程的解，多元聯(lián)立方程的解也是已經(jīng)出現(xiàn)，例如我國(guó)古代已經(jīng)有一些解一般數(shù)字系數(shù)的代數(shù)方程的“算法程序”，但這些都是用文字來(lái)表達(dá)的，直到“數(shù)字符號(hào)化”之后，才出現(xiàn)了現(xiàn)在中學(xué)代數(shù)的內(nèi)容的形式。
 
由“數(shù)字符號(hào)化”而產(chǎn)生的中學(xué)“代數(shù)”的內(nèi)容，的的確確是“數(shù)學(xué)中真正的進(jìn)展”。“代數(shù)”的確是“更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法”，“算術(shù)”顧名思義，可以理解為“計(jì)算的方法”，而“代數(shù)”可以理解為“以符號(hào)替代數(shù)字”，即“數(shù)字符號(hào)化”。人類從“算術(shù)”走向“代數(shù)”經(jīng)歷了千年。但在中學(xué)的課程中，卻只花短短的幾年，就可以全部學(xué)會(huì)這些內(nèi)容。
 
回憶我在童年時(shí)代，在小學(xué)學(xué)習(xí)“算術(shù)”課程時(shí)，感到很難，例如：求解“雞兔同籠”題，即：一個(gè)籠子中關(guān)著若干只雞，若干只兔，已知共有多少個(gè)頭，多少只腳，求有多少只雞，多少只兔？當(dāng)時(shí)老師講的求解的方法，現(xiàn)在已完全記不得了，留下的印象是感到很難，而且納悶的是：雞與兔為何要關(guān)在一個(gè)籠子里？既數(shù)得清有多少個(gè)頭及多少只腳？為何數(shù)不清有多少只雞與多少只兔？等到初中時(shí)，學(xué)習(xí)了“代數(shù)”課程，才恍然大悟，這不過(guò)是二元一次聯(lián)立代數(shù)方程組，解方程組十分簡(jiǎn)單方便，這不僅可以用來(lái)解“雞兔同籠”，即使將鴨與狗關(guān)在一個(gè)房間中，來(lái)數(shù)頭數(shù)與腳數(shù)，不妨叫做“鴨狗同室”問(wèn)題，對(duì)這樣的問(wèn)題一樣可以解。因之，“代數(shù)”顯然比“算術(shù)”來(lái)得“高級(jí)”，這的確是“更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法”，而這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論并把“陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊”，也就是從“代數(shù)”的角度來(lái)理解“算術(shù)”可以理解得更深刻，而可以把“算術(shù)”中一些復(fù)雜的，處理個(gè)別問(wèn)題的方法拋到一邊去。
 
在這里，我要重復(fù)說(shuō)一遍，盡管中學(xué)的“代數(shù)”比小學(xué)的“算術(shù)”來(lái)得“高級(jí)”，是“更有力的工具與更簡(jiǎn)單的方法”，但并不意味著小學(xué)的“算術(shù)”就可以不必學(xué)了，因?yàn)椋?br />  
（1）“算術(shù)”中的一些內(nèi)容不能完全被“代數(shù)”所替代，如四則運(yùn)算等；
（2）即使能被替代的內(nèi)容，適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)一些，有利于對(duì)“代數(shù)”內(nèi)容的認(rèn)識(shí)與理解；
（3）從教育學(xué)的角度考慮，這里有循序漸進(jìn)的問(wèn)題，有學(xué)生不同年齡段的接受能力的問(wèn)題等等。
 
作為中學(xué)“代數(shù)”中的一個(gè)重要內(nèi)容是解多元一次聯(lián)立方程組，在中學(xué)“代數(shù)”的教材中，一般著重講二元或三元一次聯(lián)立方程組，所用的方法往往是消元法。但是如果變?cè)獮樗膫€(gè)或更多時(shí)，就得另想辦法來(lái)建立起多元一次聯(lián)立方程組的理論。經(jīng)過(guò)很多年的努力，矩陣的想法產(chǎn)生了，這不但給出了多元一次聯(lián)立代數(shù)方程組的一般理論，而且由此建立起一門新的學(xué)科“線性代數(shù)”。這是又一次“數(shù)學(xué)中真正的進(jìn)展”，由于“更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法”，即“矩陣”的發(fā)現(xiàn)，不僅對(duì)多元一次聯(lián)立代數(shù)方程組的理解更為清楚、更為深刻，由于有了統(tǒng)一處理方法，可以把個(gè)別地處理方程組的方法“拋到一邊”。
 
當(dāng)然，“線性代數(shù)”是大學(xué)的課程，但它的產(chǎn)生的確再次印證了Hilbert所說(shuō)的那段話。在中學(xué)“代數(shù)”中的另一個(gè)重要內(nèi)容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算術(shù)》中已有解一般一元二次方程的算法，后來(lái)有很多的發(fā)展，直到al-khowarizmi（約783―850）相當(dāng)于給出了一般形式的一元二次方程。
 
1545年G.Cardano（1501-1576）公布了由N.Fontana（1499－1557）發(fā)現(xiàn)了解一元三次方程的解，而一元四次方程的解由L.Ferrari（1522―1565）所解決。于是當(dāng)時(shí)大批的數(shù)學(xué)家致力于更高次方程的求根式解，即企圖只對(duì)方程的系數(shù)作加、減、乘、除和求正整數(shù)次方根等運(yùn)算來(lái)表達(dá)方程的解。經(jīng)過(guò)了二個(gè)世紀(jì)的努力，大批數(shù)學(xué)家都失敗了，直到1770年J.?Lagrange（1736―1813）看到了五次及高次方程不可能做到這點(diǎn)，又過(guò)了半個(gè)世紀(jì)，1824年，N.?Abel（1802―1829）解決了這個(gè)問(wèn)題，即對(duì)于一般的五次和五次以上的方程求根式解是不可能的。但什么樣的特殊的代數(shù)方程能用根式來(lái)求解，這是E?Galois（1811―1832）所解決，而更為重要的是：為了解決這個(gè)問(wèn)題，他建立起“群”的概念，這就意味著現(xiàn)代代數(shù)理論的產(chǎn)生，這是又一次“數(shù)學(xué)中真正的進(jìn)展”。它是由于“更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法”，即“群”的發(fā)現(xiàn)而造成的，有了“群”以及后來(lái)發(fā)展起來(lái)的現(xiàn)代代數(shù)理論，可以更清楚、更深刻地理解以往高次代數(shù)方程求根式解的問(wèn)題，而的確可以把以往那些“陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊”。
 
雖然“群”等近代代數(shù)的內(nèi)容已超出中學(xué)教學(xué)的內(nèi)容，但代數(shù)方程求根式解問(wèn)題的提出到徹底解決，這三百年的過(guò)程，十分確切地印證了前面不斷重復(fù)的Hilbert所說(shuō)的那段話。
 
“群”的作用在歷史上及現(xiàn)代數(shù)學(xué)中都是不可估量的。例如：1872年Klein提出著名的ErlangerProgramm，即認(rèn)為各種幾何學(xué)就是研究各種不同變換群下的不變性質(zhì)。這個(gè)數(shù)學(xué)思想，不僅對(duì)幾何學(xué)的發(fā)展，而且對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了巨大的作用。