陳明宇：讀<<古今數(shù)學(xué)思想>>有感
發(fā)布時(shí)間：2011-10-02 01:02:01瀏覽次數(shù)：3497
讀<<古今數(shù)學(xué)思想>>有感
克萊因（M. Kline）于1972年出版的《古今數(shù)學(xué)思想》（Mathematical Thought from Ancient to Modern Times），曾被西方學(xué)者評(píng)為是“最好的數(shù)學(xué)史著作”。1970年代末，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系的教師們把它譯成中文后，在我國(guó)也產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響。最近我通讀了這套叢書(shū)，對(duì)數(shù)學(xué)思想有了進(jìn)一步的理解，感想頗多，現(xiàn)和大家分享：
第一方面；數(shù)學(xué)的起源：
正如許多人士已指出的，《古今數(shù)學(xué)思想》有一些明顯的局限，其中之一就是“歐洲中心”的偏見(jiàn)：認(rèn)為真正的數(shù)學(xué)始于古典希臘，然后經(jīng)過(guò)千年停滯，再?gòu)臍W洲文藝復(fù)興開(kāi)始發(fā)展?？巳R因評(píng)論“希臘人在數(shù)學(xué)史中的地位至高無(wú)上”，在此以前的巴比倫和埃及人只有簡(jiǎn)單粗淺的數(shù)學(xué)；至于中國(guó)、日本和瑪雅人，則因?yàn)?ldquo;他們的工作對(duì)數(shù)學(xué)思想的主流沒(méi)有什么影響”而在書(shū)中被忽略?？巳R因的觀點(diǎn)和做法已招致多方批評(píng)，在此不再重復(fù)。本文只想強(qiáng)調(diào)：應(yīng)該以實(shí)事求是的態(tài)度，平等地看待古代各大文明，只有這樣才能夠較好地理解數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展。事實(shí)上在各大文明中數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展過(guò)程有很多相似的地方，并且它們的不同之處也可以被合理地解釋。
史料和研究表明，人類在一萬(wàn)年前的新石器時(shí)代已經(jīng)掌握計(jì)數(shù)和識(shí)別一些幾何圖形。但是直到大約四五千年前才開(kāi)始產(chǎn)生真正的數(shù)學(xué)。這時(shí)人類進(jìn)入了農(nóng)業(yè)社會(huì)，發(fā)明了文字和建立了國(guó)家：農(nóng)業(yè)要求準(zhǔn)確地掌握時(shí)令、丈量土地、興修水利；國(guó)家則要進(jìn)行復(fù)雜的商品交換、財(cái)富分配和稅賦攤派；這些都需要數(shù)學(xué)；而文字使得數(shù)學(xué)知識(shí)得以交流和積累。
最早形成的是以測(cè)量為主的幾何學(xué)，值得注意的是它與水患密切相關(guān)：埃及的幾何學(xué)起源于尼羅河泛濫后土地的重新測(cè)量，那些測(cè)量人被稱為拉繩者；在中國(guó)，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，大禹治水（約四千年前）用矩作深、高、遠(yuǎn)的測(cè)量因而產(chǎn)生了勾股術(shù)。由于尼羅河很久以來(lái)每到一年中的6—10月就要泛濫，所以年復(fù)一年地在平面土地上用拉繩進(jìn)行測(cè)量，很自然會(huì)對(duì)幾何圖形中點(diǎn)、線、面的一般性質(zhì)和關(guān)系有較多的了解和研究；埃及的幾何學(xué)后來(lái)傳到希臘，后者結(jié)合他們發(fā)達(dá)的邏輯學(xué)，最終創(chuàng)立了公理化的歐幾里得幾何學(xué)。而大禹治水僅用了13年，消除洪患后的田地可以長(zhǎng)期保持規(guī)則的形狀，如象形字“田”。于是計(jì)算基本圖形（如矩形、方體和圓）或它們的截切圖形（如直角三角形、鱉臑、陽(yáng)馬和牟合方蓋）的幾何量（如邊長(zhǎng)、面積或體積）成為中國(guó)幾何學(xué)的主要課題；勾股術(shù)則發(fā)展成為完整的直角三角形相似理論。另外，建造陵墓（如埃及金字塔）和祭壇（在印度和希臘）也是幾何學(xué)的重要來(lái)源。代數(shù)起源于用加減乘除和開(kāi)方解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，如幾何量的計(jì)算、天文測(cè)量、實(shí)物分配和純數(shù)量的確定等，其中關(guān)于平面直線圖形和空間直面圖形中各種關(guān)系量的計(jì)算占據(jù)著中心的地位。在已發(fā)現(xiàn)的、屬于四千年前巴比倫的楔形文字泥石板上，記載著大量的諸如矩形的邊長(zhǎng)和面積之間關(guān)系的代數(shù)問(wèn)題，其解法與現(xiàn)代解一元二次方程的方法一致。中國(guó)的趙爽（約公元200年）為《周髀算經(jīng)》作的注中，給出了直角三角形的三邊勾股弦之間的一系列的代數(shù)關(guān)系。古希臘歐幾里得的《幾何原本》（約公元前300年）第二卷實(shí)際上就是用幾何學(xué)的語(yǔ)言敘述代數(shù)問(wèn)題，史稱“幾何代數(shù)”；而丟番圖的《算術(shù)》（約公元250年）被認(rèn)為是古希臘代數(shù)學(xué)的最高成就，其中把數(shù)自乘稱為“平方”、自乘兩次稱為“立方”的叫法流傳至今。代數(shù)對(duì)于幾何的依附是長(zhǎng)期的，第一部《代數(shù)學(xué)》的作者阿拉伯學(xué)者花拉子米（約780—850）仍然在用幾何方法來(lái)證明他的代數(shù)結(jié)果。直到19世紀(jì)代數(shù)學(xué)才完全擺脫現(xiàn)實(shí)世界的限制，成長(zhǎng)為一門完全獨(dú)立的學(xué)科。
計(jì)算圓、球以及它們的各種截切圖形或生成圖形的有關(guān)幾何量（如圓周率、球表面積、球體積和圓錐體體積等），在古代數(shù)學(xué)研究中一直占據(jù)重要地位。各大文明中都有最杰出的數(shù)學(xué)家為之做出貢獻(xiàn)，如希臘的阿基米德，中國(guó)的劉徽、祖沖之和祖暅之，印度的婆什迦羅以及日本的關(guān)孝和等。這類計(jì)算或明或暗地使用了無(wú)限分割的概念，實(shí)是17世紀(jì)后迅速發(fā)展的以微積分理論為核心的分析學(xué)之濫觴。圓錐曲線理論是希臘人獨(dú)特的創(chuàng)造，它起源于對(duì)著名的三大幾何問(wèn)題化圓為方、倍立方和三等分任意角的研究。阿波羅尼斯（Apollonius，約前262—前190）的《圓錐曲線論》與歐幾里得的《幾何原本》一樣，集中了希臘數(shù)學(xué)的精華。令人驚奇的是，兩千年后德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)行的軌道就是以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的一個(gè)橢圓！這導(dǎo)致牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力?？茖W(xué)史上一個(gè)有趣的問(wèn)題是，如果沒(méi)有希臘人的圓錐曲線理論，是否可能發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力？還會(huì)不會(huì)出現(xiàn)現(xiàn)代科學(xué)和現(xiàn)代社會(huì)？圓錐曲線理論后來(lái)被分析學(xué)完全容納。
幾何、代數(shù)和分析這三大數(shù)學(xué)學(xué)科，不約而同地產(chǎn)生于各大文明中，雖然具體內(nèi)容有或多或少的差別。這三門學(xué)科剛開(kāi)始時(shí)糾纏在一起，難分彼此；但后來(lái)逐漸分離，各自發(fā)展成為獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。五千年來(lái)數(shù)學(xué)經(jīng)歷了千變?nèi)f化，幾何、代數(shù)和分析的發(fā)展與相互作用則是貫穿始終的主旋律。
第二方面；幾何學(xué)的發(fā)展：
幾何學(xué)發(fā)展的一個(gè)方向是形數(shù)結(jié)合：關(guān)于平面和立體簡(jiǎn)單圖形的面積、體積的計(jì)算早已轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；而法國(guó)人笛卡兒和費(fèi)馬引進(jìn)坐標(biāo)幾何后，把整個(gè)幾何都代數(shù)化了：直線和平面被表為線性方程，圓錐曲線表為二元二次方程，而計(jì)算圖形的面積、體積轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的積分。從此代數(shù)學(xué)和分析學(xué)成為研究幾何的主要工具。
幾何圖形用代數(shù)方程、函數(shù)映射以及微分方程來(lái)表示，結(jié)果產(chǎn)生了大量的更一般的圖形，為研究這些圖形又發(fā)展了新的數(shù)學(xué)分支：利用導(dǎo)數(shù)研究圖形的切線、曲率等局部性質(zhì)導(dǎo)致了微分幾何學(xué)的產(chǎn)生；為研究代數(shù)方程的圖形而形成了代數(shù)幾何學(xué)，其中關(guān)于一種二元三次方程圖形的研究叫做橢圓曲線理論，它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要性堪比歷史上的圓錐曲線。
幾何學(xué)的另一個(gè)發(fā)展方向是探索和研究空間的性質(zhì)；其中最有深遠(yuǎn)意義的一步是發(fā)現(xiàn)非歐幾何。歐幾里得《幾何原本》中作為第五公設(shè)的平行公理長(zhǎng)期受到懷疑，不斷有人試圖用其他幾條公理把它證明出來(lái)卻總是徒勞無(wú)功。直到19世紀(jì)，匈牙利人波爾約（J.Bolyai）、德國(guó)人高斯和俄國(guó)人羅巴切夫斯基（Н.И.Лобачевский）各自獨(dú)立地認(rèn)識(shí)到這樣的證明是不可能的，他們用不同的公理代替平行公理，從而得到非歐幾何。
發(fā)現(xiàn)非歐幾何的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出幾何學(xué)本身：它粉碎了哲學(xué)家康德關(guān)于歐氏幾何是空間的先驗(yàn)綜合真理的論斷；幾千年來(lái)幾何學(xué)作為數(shù)學(xué)可靠性基礎(chǔ)的信念被動(dòng)搖，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始為數(shù)學(xué)打造算術(shù)化的基礎(chǔ)，這些都反映在以希爾伯特、布勞威爾（L. E. J. Brouwer）等為代表的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)理邏輯的研究工作中。
就幾何學(xué)本身來(lái)說(shuō)，平行公理是關(guān)于空間整體性質(zhì)的一條命題，非歐幾何的發(fā)現(xiàn)表明并不能簡(jiǎn)單地根據(jù)空間的局部性質(zhì)來(lái)判斷整個(gè)空間究竟如何。德國(guó)人黎曼為了探究局部滿足歐氏幾何的空間可能會(huì)有怎樣的結(jié)構(gòu)，創(chuàng)立了黎曼幾何。它后來(lái)成為愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的基礎(chǔ)。然后產(chǎn)生了流形的概念：在流形上每個(gè)局部可以用笛卡兒坐標(biāo)刻畫(huà)，但其整體的結(jié)構(gòu)卻千差萬(wàn)別。把歐氏空間中經(jīng)典的方法和成果推廣到可微流形，成為微分幾何學(xué)的重要課題：外爾（H. Weyl）、嘉當(dāng)（E. J. Cardan）等人引進(jìn)了聯(lián)絡(luò)的概念，這是歐氏空間中導(dǎo)數(shù)和微分的推廣；韋伊（A.Weil）、陳省身等人把經(jīng)典的高斯 博內(nèi)定理推廣到黎曼流形；為研究流形上的幾何結(jié)構(gòu)，陳省身等人發(fā)展了纖維叢理論，它后來(lái)被發(fā)現(xiàn)與物理學(xué)的規(guī)范場(chǎng)論不謀而合。通過(guò)考察圖形或流形的種種映射性質(zhì)并結(jié)合代數(shù)工具對(duì)它們分類，這種研究圖形和流形的新方法叫做拓?fù)鋵W(xué)，它由法國(guó)人龐加萊開(kāi)創(chuàng)。維數(shù)、同胚、同倫、同調(diào)、連通、虧格等拓?fù)湔Z(yǔ)言，在20世紀(jì)的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中隨處可見(jiàn)。龐加萊猜想說(shuō)，單連通的三維閉曲面必與三維球面同胚。這一猜想至今仍未證明。
第三方面；代數(shù)學(xué)的發(fā)展：
花拉子米發(fā)明了algebra（代數(shù)學(xué)）這個(gè)詞，其意指“還原”（相當(dāng)于在等式兩邊去掉負(fù)項(xiàng)）和“對(duì)消”（相當(dāng)于在等式兩邊消去或合并同類項(xiàng)），這個(gè)詞反映了代數(shù)的運(yùn)算特征。而中文譯名“代數(shù)”為英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力（A.Wylie）所創(chuàng)，按字面意思可以解釋為“（用符號(hào)）代替數(shù)字（未知量或常量）”，這反映了代數(shù)的符號(hào)化特征。
代數(shù)學(xué)在成為一門獨(dú)立的學(xué)科之前，必須走完關(guān)鍵的兩步。
第一步是符號(hào)化。其中最重要的是未知數(shù)的符號(hào)化，它的意義在于承認(rèn)未知數(shù)同已知數(shù)一樣是一種存在的實(shí)體，從而不必把它解出就可以對(duì)它進(jìn)行研究，以了解它的種種性質(zhì)。在古代中國(guó)和日本，曾經(jīng)發(fā)展了一元高次方程的開(kāi)方術(shù)，即求方程根的數(shù)值解的方法，這些方法并不關(guān)心方程根可能有怎樣的性質(zhì)。這是開(kāi)方術(shù)與以后的根式解研究的本質(zhì)區(qū)別。未知數(shù)符號(hào)化的嘗試先后出現(xiàn)在古代的不同國(guó)度中：例如印度人婆羅摩笈多（Brahmagupta）曾用不同的顏色表示不同的未知數(shù)；在中國(guó)宋元時(shí)期，李冶用“天元一”表示一個(gè)未知數(shù)，而朱世杰則用天、地、人、物四元來(lái)表示四個(gè)未知數(shù)。現(xiàn)代人用字母表示未知數(shù)和已知數(shù)，并使用“＋”、“－”、“×”、“÷”、“＝”等記號(hào)，這些都是在15—17世紀(jì)期間逐步形成的。第二步是數(shù)系的擴(kuò)展。這方面的進(jìn)步也非常緩慢。雖然早在兩千年前，中國(guó)的《九章算術(shù)》中已有完整的分?jǐn)?shù)計(jì)算，同時(shí)希臘人已經(jīng)掌握了無(wú)理數(shù)；但是直到18世紀(jì)人們對(duì)負(fù)數(shù)的性質(zhì)還不甚清楚，并且懷疑復(fù)數(shù)的存在；一直到該世紀(jì)末高斯證明了代數(shù)基本定理，人們才接受了研究代數(shù)所需要的全部的數(shù)。自此以后，代數(shù)學(xué)擺脫了對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的依賴，開(kāi)始了獨(dú)立的突飛猛進(jìn)的發(fā)展。
代數(shù)學(xué)發(fā)展的一條主線是一元代數(shù)方程根式解的研究。雖然早在四千年前巴比倫人就會(huì)用配方法解二次方程，但是直到16世紀(jì)意大利的數(shù)學(xué)家才發(fā)現(xiàn)根式解三、四次方程的一般方法。19世紀(jì)，阿貝爾證明用根式解一般五次方程不可能。最后是伽羅瓦首創(chuàng)群論方法，確定了n次方程可用根式解的充要條件是其根的置換群為可解群。他在徹底了結(jié)這個(gè)延續(xù)了數(shù)千年的代數(shù)問(wèn)題的同時(shí)，打開(kāi)了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展大門。抽象代數(shù)學(xué)研究群、環(huán)、域、模、理想、格等代數(shù)結(jié)構(gòu)，它在1930年代由諾特（E.Noether）與阿廷（E.Artin）等人正式確立，成為20世紀(jì)代數(shù)學(xué)的主流。1637年，費(fèi)馬提出了“除平方之外，任何次冪都不可能分拆成兩個(gè)同次冪”的所謂費(fèi)馬大定理。為證明這個(gè)定理，庫(kù)默爾（E.E.Kummer）把整數(shù)分解的方法推廣到了分圓域，并創(chuàng)立了理想論。他不僅因此發(fā)現(xiàn)了“理想”這個(gè)新代數(shù)結(jié)構(gòu)，而且開(kāi)創(chuàng)了代數(shù)數(shù)論的研究。“代數(shù)”這個(gè)詞現(xiàn)在不僅代表了一種數(shù)學(xué)學(xué)科，還專指一種帶有加法和乘法運(yùn)算的抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)。“交換代數(shù)”則是研究代數(shù)幾何的基礎(chǔ)。
第四方面；分析學(xué)的發(fā)展：
17世紀(jì)牛頓和萊布尼茨發(fā)明的微積分，被認(rèn)為“是繼歐幾里得幾何之后，全部數(shù)學(xué)中最大創(chuàng)造”；然而它實(shí)際上是古代數(shù)學(xué)中無(wú)限分割思想在笛卡兒坐標(biāo)體系下的自然發(fā)展。從此無(wú)窮的概念正式進(jìn)入數(shù)學(xué)并大顯身手：無(wú)窮小分析成為幾乎無(wú)處不在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，無(wú)窮級(jí)數(shù)也被廣泛使用。分析學(xué)則成為與幾何和代數(shù)同樣重要的數(shù)學(xué)分支。函數(shù)是分析學(xué)的中心概念，在牛頓時(shí)代人們只研究光滑的連續(xù)函數(shù)，但不久就發(fā)現(xiàn)了種種不連續(xù)、不可微的怪異函數(shù)，如何處理這些函數(shù)曾使分析學(xué)家們傷透腦筋。
康托爾創(chuàng)立了集合論，為分析乃至整個(gè)數(shù)學(xué)奠定了邏輯基礎(chǔ)；因出現(xiàn)了悖論，人們?cè)鴮?duì)集合論是否可靠感到擔(dān)心。羅素、希爾伯特、布勞威爾等試圖為數(shù)學(xué)建立更牢固的基礎(chǔ)，但均未成功。如今數(shù)學(xué)家們肆無(wú)忌憚地使用集合論的成果，全然不顧它是否會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。黎曼曾建立了有限區(qū)間上的積分理論，但它不適用于一大類有意義的函數(shù)。于是法國(guó)人勒貝格發(fā)明了測(cè)度論，創(chuàng)立了關(guān)于可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分，由此誕生了實(shí)變函數(shù)論。所謂復(fù)變函數(shù)論實(shí)際指單復(fù)變量的函數(shù)論，它曾經(jīng)是19世紀(jì)分析學(xué)的中心內(nèi)容：高斯利用它證明了代數(shù)基本定理；阿貝爾在這里創(chuàng)造了橢圓函數(shù)和橢圓積分；黎曼通過(guò)研究多值函數(shù)發(fā)現(xiàn)了黎曼面，這個(gè)結(jié)構(gòu)對(duì)于幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)也都有重要意義。在20世紀(jì)，共形映射與值分布理論成為重要的研究課題。多復(fù)變函數(shù)論則被稱為復(fù)分析，它形成于20世紀(jì)初，現(xiàn)在發(fā)展十分迅速。泛函分析也可稱為“函數(shù)的”函數(shù)理論，因?yàn)樗芯康氖亲饔迷诤瘮?shù)上的變換或算子。它起源于對(duì)變分法和積分方程等的研究。弗雷歇于1906年創(chuàng)立了抽象空間（函數(shù)是其中的“點(diǎn)”）理論，從而奠定了泛函分析的基礎(chǔ)。重要的抽象空間包括巴拿赫空間和希爾伯特空間。泛函分析不僅在數(shù)學(xué)而且在物理學(xué)等學(xué)科中有廣泛應(yīng)用，是現(xiàn)代分析學(xué)的基本內(nèi)容。
《古今數(shù)學(xué)思想》中很少涉及20世紀(jì)數(shù)學(xué)，因?yàn)榭巳R因認(rèn)為這段時(shí)期的許多數(shù)學(xué)成果尚有待于經(jīng)受時(shí)間的檢驗(yàn)，而且他對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的過(guò)度抽象化也持保留態(tài)度。事實(shí)上，無(wú)論就純粹數(shù)學(xué)還是就應(yīng)用數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，20世紀(jì)的發(fā)展都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)以往的世紀(jì)；五千年的數(shù)學(xué)歷史短缺了最精彩最豐富的最后100年，無(wú)論如何是一大遺憾。所幸最近出版的 《20世紀(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)緯》，全面介紹了20世紀(jì)的數(shù)學(xué)人物、事件和成就，從而可以填補(bǔ)這段空白。 縱觀五千年數(shù)學(xué)，波瀾壯闊，精彩繽紛，令人驚嘆。浮光掠影地一瞥，當(dāng)然只能略及皮毛，粗知大概。不過(guò)我們還是可以看出，數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類文明的進(jìn)步狀況密切相關(guān)。在原始社會(huì)，人類只會(huì)記數(shù)和識(shí)別簡(jiǎn)單的幾何圖形。這種本領(lǐng)部分出自動(dòng)物本能的一種發(fā)展，部分出自原始部落內(nèi)部成員間口頭學(xué)習(xí)和交流。進(jìn)入農(nóng)業(yè)社會(huì)，人類建立國(guó)家，開(kāi)始了大規(guī)模的社會(huì)合作、社會(huì)分工和社會(huì)生產(chǎn)。由于社會(huì)需要，很自然地產(chǎn)生了以幾何學(xué)為主要內(nèi)容的古典數(shù)學(xué)。文字著作成為傳播數(shù)學(xué)知識(shí)的重要手段，交流的范圍也擴(kuò)大到了一個(gè)國(guó)家或?qū)儆谕晃拿鞯南噜弴?guó)家?？梢詳喽ú煌拿髦械臄?shù)學(xué)基本上是獨(dú)立發(fā)展的；但它們的歷程和內(nèi)容有許多相似之處，這表明這段時(shí)期的社會(huì)結(jié)構(gòu)和社會(huì)生產(chǎn)很大程度決定了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)。然而不同文明中的數(shù)學(xué)也有明顯的不同，這可以用自然環(huán)境或文化的差異來(lái)解釋。15世紀(jì)開(kāi)始的歐洲文藝復(fù)興為人類進(jìn)入工業(yè)化的現(xiàn)代社會(huì)做準(zhǔn)備，數(shù)學(xué)也開(kāi)始醞釀思想變革。17世紀(jì)以后人類的科學(xué)、技術(shù)和生產(chǎn)活動(dòng)越來(lái)越廣泛深入，數(shù)學(xué)也隨之飛速發(fā)展。數(shù)學(xué)交流使用雜志論文這種更迅速方便的手段；隨著數(shù)學(xué)交流跨越了國(guó)界，數(shù)學(xué)研究也成為國(guó)際化的活動(dòng)。由于人類的這場(chǎng)社會(huì)革命首先從西方開(kāi)始，所以與它同時(shí)產(chǎn)生的現(xiàn)代數(shù)學(xué)也很自然地帶上明顯的西方古典數(shù)學(xué)思想的烙印。計(jì)算機(jī)與網(wǎng)絡(luò)把人類帶進(jìn)了21世紀(jì)，我們正在經(jīng)歷信息時(shí)代的革命。通信與交流從來(lái)沒(méi)有這樣的便利和迅速，數(shù)學(xué)家交流思想和研究成果從來(lái)沒(méi)有這樣容易；科學(xué)技術(shù)與生產(chǎn)的發(fā)展達(dá)到了前所未有的頂峰。面對(duì)如此形勢(shì)，我們有理由相信，很可能在這一世紀(jì)里會(huì)發(fā)生另一場(chǎng)數(shù)學(xué)思想的革命；與以往不同的是，這次革命將會(huì)有全世界的數(shù)學(xué)家共同參與。
讓我們拭目以待，數(shù)學(xué)這棵古老的常青樹(shù)將在21世紀(jì)中長(zhǎng)出怎樣的新干和新芽。
新鄉(xiāng)一中數(shù)學(xué)組：陳明宇
2011。9。2
