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數(shù)學(xué)物理競(jìng)賽心得體會(huì)

作者：胥曉宇 2014-01-23 20:20

序言

物理集訓(xùn)隊(duì)最后一天，宋老師說(shuō)，“人過(guò)留名，雁過(guò)留聲”，我學(xué)了這么多年的競(jìng)賽，在心態(tài)，學(xué)習(xí)，考試等方面都有一些心得，要是消逝在記憶之中，未免有些遺憾。所以愿意整理出這樣一份心得體會(huì)，全都是肺腑之言，希望能對(duì)廣大競(jìng)賽同胞們有所幫助。

那些對(duì)競(jìng)賽有成見(jiàn)的人就不要噴了。認(rèn)為我講的不對(duì)的（尤其是各位學(xué)長(zhǎng)），歡迎在“評(píng)論”里面留下自己的看法，給大家更多的幫助?？赡苡幸恍┐朕o失當(dāng)，還請(qǐng)見(jiàn)諒。

下面講的會(huì)比較多，而且會(huì)比較散，有些部分大家可以自行跳過(guò)。

〇   學(xué)習(xí)成就大事記（還是簡(jiǎn)單說(shuō)一下吧，大家給點(diǎn)面子不要噴）

小學(xué)五年級(jí)仁華一班一號(hào)進(jìn)入一流奧數(shù)圈子

初一數(shù)學(xué)初聯(lián)一等

初三數(shù)學(xué)高聯(lián)一等

高二數(shù)學(xué)進(jìn)北京隊(duì)，CMO滿(mǎn)分金牌，集訓(xùn)隊(duì)前十

高二物理高聯(lián)一等

高三數(shù)學(xué)物理聯(lián)賽均以第一名進(jìn)隊(duì)，隨后CMO金牌，CPhO銀牌（涉險(xiǎn)過(guò)關(guān)，太幸運(yùn)了）

高三物理進(jìn)入IPhO國(guó)家隊(duì)

出國(guó)方面 TOEFL110 ，SAT2300

課內(nèi)成績(jī)高中不出年級(jí)前十，高二CMO前不出前三

一    明心見(jiàn)性，直指本心

是亦不可以已乎？此之謂失其本心。

——《孟子·告子上》

細(xì)細(xì)數(shù)來(lái)，初步接觸競(jìng)賽，數(shù)學(xué)是小學(xué)三年級(jí)進(jìn)入華校，物理是初二；而進(jìn)入MO和PhO，那都是高中的事了。

很多人都會(huì)有疑問(wèn)：學(xué)這么多年的競(jìng)賽，到底是為什么？

實(shí)話(huà)實(shí)說(shuō)，小學(xué)的時(shí)候?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，說(shuō)的好聽(tīng)點(diǎn)，是出于好勝心和自尊心；說(shuō)的實(shí)在點(diǎn)，就是好面子，聽(tīng)見(jiàn)別人夸獎(jiǎng)心里高興，自得。當(dāng)然也有“興趣”。注意，興趣和自得之心是完全可以一致的。

但是到了中學(xué)，尤其是進(jìn)入高中以后，上述心態(tài)固然存在（所謂本性難移是也），但更多的則是真正有求知欲，并且能在數(shù)競(jìng)中發(fā)現(xiàn)樂(lè)趣。我記的特別清楚的一次是去年的暑假，在上海旁聽(tīng)國(guó)家隊(duì)培訓(xùn)的時(shí)候，有一個(gè)數(shù)論題。有兩個(gè)參數(shù)m和k，讓你證一個(gè)結(jié)論。我用了一個(gè)小時(shí)，一直對(duì)著m“使勁”，毫無(wú)斬獲；后來(lái)靈機(jī)一動(dòng)，對(duì)著k“使勁”，豁然而解。（好吧，沒(méi)有原題就跟看笑話(huà)似的）當(dāng)時(shí)就特別特別高興，就有一種“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處”的感覺(jué)。我覺(jué)得這就是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的樂(lè)趣。

當(dāng)然了，我學(xué)物理競(jìng)賽也經(jīng)歷了這樣的過(guò)程，到了高二的暑假，才漸漸體會(huì)到物理的樂(lè)趣。這與“本心”無(wú)關(guān)，故后述。

所以現(xiàn)在，我在競(jìng)賽方面，確實(shí)是做到了“明心見(jiàn)性，直指本心”。有虛榮心，但更多的是對(duì)它們的喜愛(ài)（之所以用喜愛(ài)而不用熱愛(ài)，是因?yàn)閮煽莆疑磉叾加斜任腋?ldquo;熱愛(ài)”的人，dby和bas，我是自愧弗如）。我稱(chēng)這份喜愛(ài)為“本心”。

當(dāng)然了，從虛榮心為主到本心為主，自然有一番坎坷。以下為數(shù)競(jìng)經(jīng)歷。

我從小學(xué)開(kāi)始，一直是所謂天之驕子，一路頂著“北京本屆數(shù)學(xué)最強(qiáng)者”（之一）的光環(huán)，一直到高中。由于初三拿了高聯(lián)一等，高一時(shí)信心滿(mǎn)滿(mǎn)，準(zhǔn)備進(jìn)北京隊(duì)參加CMO。結(jié)果高聯(lián)失利，136分，一等中下。后經(jīng)證實(shí)，有一道大題本來(lái)我的證明是對(duì)的，但是吃了鴨蛋，直接把我從省隊(duì)打到一等中下。聽(tīng)到了消息，申訴，無(wú)果，只能飲恨。

當(dāng)然是痛哭了兩三次。想法是，明明不是我犯的錯(cuò)，卻需要我自己承擔(dān)苦果。冤枉啊！

然后就是去找楊琦老師訴苦。楊老師顯然二十成好人，先是陪著我痛罵一頓判卷的，然后跟我說(shuō)他當(dāng)年如何被誤判，“巨怒”，結(jié)果等他進(jìn)了省隊(duì)，當(dāng)年踩在他頭上的幾人都放棄競(jìng)賽了（跟黃裳似的）。然后又舉了兩位我校學(xué)長(zhǎng)的例子（就不說(shuō)名字了，你們兩位自己應(yīng)該知道吧。再次向你們表示感謝！），各種開(kāi)導(dǎo)。我一想，是啊，他們兩個(gè)顯然比我還要慘，我好歹還有兩年呢。然后心情就漸漸平靜了。

楊老師又說(shuō)，其實(shí)你再想想，如果你實(shí)力足夠強(qiáng)，那么就算被誤判一道，也能進(jìn)隊(duì)，那才牛呢。我一想，這很有道理啊，我明年就要遠(yuǎn)遠(yuǎn)比其他人強(qiáng)，讓那些老師就算誤判我也攔不住我進(jìn)隊(duì)。

然后我就說(shuō)，其實(shí)我還很難受的一點(diǎn)呢，就是同學(xué)們顯然會(huì)認(rèn)為我數(shù)學(xué)不是最強(qiáng)的了，而且有的人說(shuō)的那些話(huà)就帶刺，我就特別難受。我也知道“走自己的路，讓別人說(shuō)去吧”，但是我的層次還沒(méi)有這么高。

這其實(shí)是很要命的一點(diǎn)，至少這個(gè)是我自己最大的弱點(diǎn)——極度自信（乃至自負(fù)，后來(lái)有改正，但還需努力）自尊心（虛榮心）強(qiáng)。知易行難，我努力忽略一些言辭，有所進(jìn)步，但或多或少還是有些難受。

后來(lái)，我又用各種古文安慰自己，特別是“生于憂(yōu)患，死于安樂(lè)”，“塞翁失馬”，“是非成敗轉(zhuǎn)頭空，青山依舊在，幾度夕陽(yáng)紅”。特別有用。

談完話(huà)，我心情大有好轉(zhuǎn)，還作了一首打油詩(shī)以表心志（好吧，當(dāng)時(shí)確實(shí)是等著有一天進(jìn)了國(guó)家隊(duì)然后公開(kāi)），就附在這里了。為了押韻，牽強(qiáng)之處還望大家不要取笑。除了一個(gè)人名，其余一字不改，當(dāng)時(shí)一則情緒激動(dòng)，二則心智不成熟（現(xiàn)在也是），取其精華即可。

幾近十年數(shù)學(xué)路，

何堪今日至此處？

待到金榜發(fā)布日，

數(shù)非其數(shù)物非物。

數(shù)學(xué)初窺真門(mén)徑，

論理也具強(qiáng)工夫。

組委卻將大題除，

河?xùn)|漫漫歸無(wú)路。

何苦，何苦？

 

胥郎本非池中物，

曉千知萬(wàn)亦無(wú)助。

宇宙何大人何渺，

再難可以一葦渡。

何須無(wú)端添悲苦？

人生不順本常故。

敢問(wèn)當(dāng)年XXX，

當(dāng)為英雄卻落幕。

不如，不如！

 

且看來(lái)年桃庵中，

任爾等閑花千樹(shù)！

臥薪勵(lì)精神常在，

前度胥郎今又來(lái)！

 

我都說(shuō)了不要取笑！

好的，繼續(xù)說(shuō)。后來(lái)，一方面是為了上述“雪恥”，有一股傲氣，想要來(lái)年即使誤判也進(jìn)隊(duì)（我的這份傲氣確實(shí)根深蒂固）；另一方面，做題中確實(shí)漸漸感受到，而且自己思考自己為何學(xué)競(jìng)賽時(shí)也漫漫認(rèn)識(shí)到，自己不是為了別人學(xué)競(jìng)賽。然后就真的慢慢把一些事看淡了一些。包括之后羅馬尼亞大師杯因種種原因落選，未能去成，也沒(méi)有那么痛苦了。而且這一年，感覺(jué)成熟了很多，堅(jiān)強(qiáng)了很多。

而且自2011年11月起，自己立下目標(biāo)，每天做至少一道CMO真題，堅(jiān)持做了12屆，覺(jué)得要為下一年留題，就轉(zhuǎn)而做別的了。感覺(jué)確實(shí)這一年水平有很大提高。高二果然在誤判情況下進(jìn)了省隊(duì)，也拿了金牌。

物理嘛，也是，高一拿了二等，高二信心十足，想要沖省隊(duì)，結(jié)果最后一道相對(duì)論（確實(shí)是好題）算出來(lái)ε/μ得2c（可見(jiàn)當(dāng)時(shí)確實(shí)知識(shí)不扎實(shí)），我覺(jué)得有很多步是對(duì)的，但是給了3分，又是沒(méi)進(jìn)省隊(duì)。不過(guò)這次我心靈防御力遠(yuǎn)超高一時(shí)，自然沒(méi)有被打垮。

說(shuō)了這么多，主要是講了我的一次“破而后立”的過(guò)程。大道理不多講，大家自己體會(huì)吧。最后說(shuō)一句：沒(méi)有被誤判的競(jìng)賽生涯是不完整的。

希望這對(duì)那些曾在或尚在低谷中的同學(xué)們有所幫助。

下面附上我還在“低谷”（當(dāng)然內(nèi)心已經(jīng)振作了）時(shí)的發(fā)言。

2012集訓(xùn)隊(duì)表彰大會(huì)胥曉宇同學(xué)發(fā)言

2012-06-15 10:49:25 

各位老師、各位同學(xué)、各位家長(zhǎng)、各位嘉賓大家好，我是人大附中胥曉宇，現(xiàn)在就跟大家分享一下這次去莫斯科參加莫斯科奧林匹克競(jìng)賽的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)。首先還是要說(shuō)一下我對(duì)各位老師的感謝，首先是要感謝各位帶隊(duì)的教授和老師，是他們對(duì)我們無(wú)微不至的關(guān)懷和照顧才能使我們這次比賽圓滿(mǎn)成功，所以先向這些老師表示感謝。

同時(shí)也要感謝的是那些沒(méi)有跟我們一起去莫斯科，但是在背后默默支持我們的老師，他們對(duì)這次的比賽，對(duì)這次行程做了非常細(xì)致、周密的安排，而且學(xué)而思還有很多非常好的老師對(duì)我們之前進(jìn)行了細(xì)心、而且非常全面的培訓(xùn)，（因?yàn)椋┧麄兊呐嘤?xùn)才能使我們?cè)诒荣愔腥〉眠@么良好的成績(jī)，所以現(xiàn)在也向他們表示一下感謝。

下面再說(shuō)一下我關(guān)于這次比賽的一些想法：首先，大家應(yīng)該都知道俄羅斯是一個(gè)比較傳統(tǒng)的、數(shù)學(xué)非常厲害的國(guó)家，而且莫斯科的題主要是幾何和組合比較難，而且最難的就是組合。（她的）幾何經(jīng)常會(huì)出一些比較怪、比較有歧義、非常奇特的、比較有意思的題，所以這次比賽至少就我個(gè)人而言，對(duì)我的一些關(guān)于數(shù)學(xué)和組合數(shù)學(xué)上的想法、思路的開(kāi)闊都是非常有幫助的，所以說(shuō)這次比賽還是對(duì)我的水平有非常大的提升。

最后想跟大家分享的一點(diǎn)就是我個(gè)人關(guān)于數(shù)學(xué)競(jìng)賽的一些感受。在座的應(yīng)該都是一些非常厲害的教授、老師，而且還有一些往屆非常厲害的學(xué)長(zhǎng)，所以我現(xiàn)在可能有班門(mén)弄斧之嫌，但是我在這個(gè)地方還是想說(shuō)一些自己的心里話(huà)。我覺(jué)得（做）數(shù)學(xué)競(jìng)賽（更重要的）是數(shù)學(xué)的精神。

拿我個(gè)人舉一下例子，我在去年，在高中聯(lián)賽沒(méi)有考好，所以沒(méi)有進(jìn)冬令營(yíng)，包括剛才上面也說(shuō)了，今年有一個(gè)羅馬尼亞的大師杯賽，但是我還是因?yàn)閭€(gè)人的水平不足，也是沒(méi)有能成功地去成。這次拿這個(gè)（莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克）第一名，應(yīng)該也算是一個(gè)成績(jī)，但是相較于冬令營(yíng)的金牌、IMO的金牌，可能連個(gè)零頭都算不上。

我想說(shuō)的是從高聯(lián)失利開(kāi)始，我個(gè)人覺(jué)得在走一個(gè)前所未有的下坡路。但是我覺(jué)得真正對(duì)數(shù)學(xué)精神的理解可能就是這個(gè)時(shí)期，就是在這個(gè)時(shí)期（我才）真正知道什么是要堅(jiān)持，要有毅力?，F(xiàn)在還是要感謝兩個(gè)比我大一點(diǎn)的同學(xué)，一位姓曾，一位姓魏。他們?cè)谖沂Ю倪^(guò)程中，因?yàn)橄氲剿麄儯氲剿麄冊(cè)?jīng)和我一樣經(jīng)受住了失敗的打擊，才有了今天的成績(jī)，他們是督促我繼續(xù)走下去的朋友。

以后如果有一天我能得一個(gè)冬令營(yíng)的金牌，能夠進(jìn)入國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)，進(jìn)入國(guó)家隊(duì)，我想這可以算是我學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)成功。但是如果有一天，假如我到高三，我還是進(jìn)不了（國(guó)家隊(duì)），我拿不到一塊金牌，但是我覺(jué)得這也不能算是一個(gè)失敗，因?yàn)楫?dāng)我就這樣堅(jiān)持下去，當(dāng)我終于可以勇敢地面對(duì)這一切，當(dāng)我用堅(jiān)持不懈的精神去面對(duì)數(shù)學(xué)，并且用全身去熱愛(ài)數(shù)學(xué)的時(shí)候，我覺(jué)得我就已經(jīng)獲得了最大的成功，謝謝大家。

二     數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)習(xí)心得

“要多想。”

——《三體Ⅱ·黑暗森林》

我本人是在初一時(shí)基本學(xué)完初中課內(nèi)內(nèi)容，初二結(jié)束后基本學(xué)完高中課內(nèi)內(nèi)容。這個(gè)因人而異，不過(guò)肯定是要盡早學(xué)完為好。

下面進(jìn)入正題，就是高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)習(xí)。

眾所周知，MO四大項(xiàng)，幾何代數(shù)數(shù)論組合，“知識(shí)點(diǎn)”確實(shí)比較多。建議是找學(xué)校的競(jìng)賽課或者課外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)，先把競(jìng)賽的內(nèi)容過(guò)一遍，達(dá)到高聯(lián)一等的水平。然后，就是要向著CMO前進(jìn)了，CMO才是真正意義上數(shù)學(xué)競(jìng)賽的第一關(guān)。

先說(shuō)本人經(jīng)歷。初三中考后，去上海數(shù)學(xué)夏令營(yíng)，方知自己才疏學(xué)淺。在那里連學(xué)十天，感覺(jué)水平大漲。

高一，由于還要上學(xué)，也就是把CMO真題做了一半，看了（沒(méi)有做）四本奧賽經(jīng)典（最好不要看他的幾何和組合）。

高二，進(jìn)隊(duì)后，把CMO真題和其他一些MO難度的題做了，然后CMO。CMO后，做了近五六年的集訓(xùn)隊(duì)題，看了《數(shù)學(xué)競(jìng)賽研究教程》，然后TST。TST后會(huì)學(xué)校老老實(shí)實(shí)待了半學(xué)期，去上海旁聽(tīng)國(guó)家隊(duì)培訓(xùn)。

暑假又做了一點(diǎn)單墫老師的小冊(cè)子，還有《不等式的秘密》。主要在弄物理。

高三，物理TST期間又做了一遍CMO，TST后，做了一些題，然后，就沒(méi)有然后了。

從高一到高二暑假，有一些人大附中的學(xué)長(zhǎng)給我們講課，感覺(jué)受益良多。特別感謝cl。

總之，我自己感覺(jué)數(shù)學(xué)看的做的書(shū)并不多（實(shí)際上少的可憐），但是我感覺(jué)自己有一個(gè)非常非常大的優(yōu)勢(shì)，就是我特別愛(ài)思考且會(huì)思考。

這里的思考不是指做題，是指做題后的總結(jié)。我總是喜歡在做完一道好題之后，“高屋建瓴”地寫(xiě)上幾句高大上的點(diǎn)評(píng)，剛開(kāi)始確實(shí)拙劣，不過(guò)慢慢就有感覺(jué)了，往往可以抓住題目中蘊(yùn)含的思想or技巧中的精髓（姑且讓我自吹自擂一下）。

荀子說(shuō)，“吾嘗終日而思矣，不如須臾之所學(xué)也。”這固然有道理，但是有些同學(xué)是“學(xué)而不思則罔”，做一道題沒(méi)做出來(lái)，一看解答，“哦，原來(lái)這么簡(jiǎn)單，一下子就出來(lái)了”。然后就走了，去做別的題。這么說(shuō)的確夸張，更常見(jiàn)的是，看了解答，每一步都會(huì)，就是不知道解答是怎么想出來(lái)的。這樣，下次出現(xiàn)蘊(yùn)含同樣思想的題，照樣做不出來(lái)。

我每次遇到?jīng)]做出來(lái)的，或是做出來(lái)感覺(jué)做法極其巧妙的，都會(huì)問(wèn)自己這樣幾個(gè)問(wèn)題：

答案為什么這么想？是有條件或是結(jié)論的提示，是有熟知的定理，還是有一個(gè)很自然的題眼我沒(méi)有發(fā)現(xiàn)？

我為什么沒(méi)有這么想？應(yīng)該怎樣使得下次這樣想？

這道題里頭，有什么技巧值得借鑒？

這道題背后有沒(méi)有更本質(zhì)的思想？有沒(méi)有高等的背景？

當(dāng)然，不是什么時(shí)候都能想明白這么多，但是你一旦去想，就會(huì)有更深刻的理解。

（不過(guò)也不要“思而不學(xué)則殆”。）

關(guān)于推薦書(shū)目，由于我本人看的做的書(shū)確實(shí)不多，就不貽笑大方了。不過(guò)我可以給出一份歷屆CMO好題單子，當(dāng)然是我自己總結(jié)的，總結(jié)于第一次參加CMO之前，如下：

1， CMO 6-6 足球-三色絲線(xiàn)-頂點(diǎn)放數(shù)-積為一

與之類(lèi)似的有CMO5-6, 3n邊型三角剖分一筆畫(huà)。

關(guān)鍵在于抓住染色的特點(diǎn)，從染色本身的規(guī)律性入手。

比如，用賦值法運(yùn)用顏色的性質(zhì)。

另一種是CMO1-6, 關(guān)鍵在于用已有條件找到“更好用”的條件，即條件的減弱型轉(zhuǎn)化。

2， CMO 8-4，類(lèi)似于CMO1-3， 復(fù)數(shù)題要會(huì)轉(zhuǎn)會(huì)放。找模長(zhǎng)最長(zhǎng)的復(fù)數(shù)的和，用于構(gòu)造性的證明存在性。

3， CMO 8-6，說(shuō)不清，上歸納。適用于形式上有遞歸性的題目。

4， CMO 9-3，函數(shù)方程的值域分析。“偏差會(huì)放大”。

5， CMO 9-4，根的構(gòu)造性使用。類(lèi)比“整除選擇器”。

6， CMO 10-2，函數(shù)方程，重觀察。

7， CMO 12-5，構(gòu)造圖來(lái)說(shuō)理。

8， CMO 13-5，漂亮的輔助線(xiàn) 托勒密不等式

9， CMO 14-2，好題！

由嘗試歸納證明發(fā)現(xiàn)等式1，再回頭證明此等式。后面一問(wèn)再用系數(shù)關(guān)系推導(dǎo)，充分用好前面的結(jié)論。

我當(dāng)時(shí)急于求成，直接干二，是找規(guī)律做的，就沒(méi)能發(fā)現(xiàn)此題精髓。

10，CMO 14-3， 互通四站組。關(guān)鍵在于理解“主干道”。它不過(guò)是改變了一點(diǎn)出入度的總數(shù)。

11，CMO 14-6， 巧妙轉(zhuǎn)化。

12，CMO 15-6， 抓住本質(zhì)。5不是關(guān)鍵，“至多3個(gè)不同才是”，想到抽屜。當(dāng)然后面的構(gòu)造也很巧妙。

13，CMO 17-2， 迭代消“常數(shù)”。

14，CMO 17-3

15，CMO 18-2， 論證部分，先找性質(zhì)再推，思想和寫(xiě)法都好。

16，CMO 18-3， 放縮技巧很好。而且思路很好：先放，解決一部分，而另一部分可以回頭再?gòu)念^解決。

17，CMO 19-3， 抽屜原理配奇偶點(diǎn)；凸形，用覆蓋來(lái)說(shuō)。

18，CMO 21-3， 牢記這個(gè)配方法。聯(lián)系：4k 1素?cái)?shù)可表示為x2 y2.

19，CMO 21-6， 組合計(jì)數(shù)，直接上“全局”算兩次，差一點(diǎn)點(diǎn)；可以先通過(guò)抽屜原理用好“整數(shù)”條件，“克扣“一點(diǎn)。

20，CMO 22-3， 精彩！太精彩了！兩數(shù)相等推出奇等于偶為入手點(diǎn)，后面的“挪位”有奇效。

21，CMO 24-6， 構(gòu)造性的思路，先做弱化的結(jié)論，一步一步來(lái)。我的思維過(guò)程是2-1-3.

22，CMO 25-3， 見(jiàn)下

23，CMO 25-5， 好題！主動(dòng)分段 抽屜原理

24，CMO 25-6， 構(gòu)造性取大素?cái)?shù)；費(fèi)馬小定理 孫子定理

25，CMO 26-2， 幾何輔助線(xiàn)多試，共圓要多找，條件要集中起來(lái)。

26，CMO 26-3， 阿貝爾變換，說(shuō)理清晰。選明考察對(duì)象，比如此題中是各min和他們的個(gè)數(shù)。

27，CMO 27-2 用“塊”來(lái)說(shuō)明，考察最小的不在“塊”內(nèi)的即可。選取“極”來(lái)說(shuō)理。

28，CMO 28-？ 明天揭曉。

感覺(jué)心態(tài)比較平和，也比較自信。明日展現(xiàn)真我，足矣。

                                               ——2013.1.11 沈陽(yáng)

考了一天，正是要靜心的時(shí)候，不能松勁啊！

                                     ——1.12

126，天不負(fù)。

29，CMO 29-5 拼湊出來(lái)的題，但也還不錯(cuò)了。今年題上手容易，沒(méi)有天外飛仙。

今天補(bǔ)上：

30，CMO 30-6 確實(shí)是好題。我做了3個(gè)小時(shí)，一開(kāi)始就知道是抽屜原理，但一直想要找等差一樣的東西，結(jié)果找不到。作為反面例子，告訴大家，不要一開(kāi)始就把結(jié)論加強(qiáng)并且一直按照加強(qiáng)后的東西做。

三    數(shù)學(xué)競(jìng)賽心得

眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處。

                                            ——《青玉案·元夕》

之前提了幾句關(guān)于數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的樂(lè)趣。其實(shí)王國(guó)維的三境界說(shuō)對(duì)于任何學(xué)問(wèn)任何事業(yè)都適用，實(shí)在是大家。

我要強(qiáng)調(diào)的最關(guān)鍵的一點(diǎn)，就是要在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有“慧眼”，看得出來(lái)題目到底想讓你干什么。不講大道理了，下面是幾個(gè)實(shí)例。由淺入深。

比如，有一個(gè)小結(jié)論，是說(shuō)對(duì)于一個(gè)無(wú)理數(shù)a，對(duì)任意ε>0，存在整數(shù)b，使得{ab}<ε。

這樣一個(gè)結(jié)論，在我的腦海中，一方面是有一個(gè)小人在一個(gè)單位圓上走，走啊走，走啊走，每一步走一個(gè)固定的距離，永遠(yuǎn)不回原點(diǎn)，那么總有一些時(shí)刻他可以離原點(diǎn)特別近；另一方面，走了很久之后，他的足跡在圓上特別的密。

然后再看這么一個(gè)題

求證：2的冪次的數(shù)字和是沒(méi)有上界的。

這下，很自然想到反證法，“假設(shè)有上界”，怎么找一個(gè)更大的呢？如果有一個(gè)2的冪，它的長(zhǎng)相是一個(gè)1后面一堆0，再一堆別的，使得后面的那一堆乘上已有的數(shù)字和最大的那個(gè)2的冪以后，后面一堆不影響前面的1乘上已有的2的冪，那么前面的1乘上2的冪數(shù)字和就是“最大”，后面又不都是0，就行了。

如何找1后面一堆0的2的冪呢？

利用lg2是無(wú)理數(shù)，加上前述結(jié)論，就ok。

在以上的思路中，反證是自然的，然后要找一個(gè)更大的，那么找100…也很自然，一切水到渠成。大家可以體會(huì)一下這里面的思路。

又比如，之前有一個(gè)集訓(xùn)隊(duì)的題目：

證明：不存在長(zhǎng)40項(xiàng)的等差數(shù)列，使得其每一項(xiàng)都可以表示為一個(gè)2的冪次和一個(gè)3的冪次之和。

這里不詳細(xì)寫(xiě)了，只要看到，雖說(shuō)乍一看可以一個(gè)指數(shù)少一些，一個(gè)指數(shù)多一些，最后讓這些數(shù)差不多，但實(shí)際上，如題意的數(shù)的分布是很“稀疏”的，可以從大小上找到矛盾。指數(shù)增長(zhǎng)太快是主要矛盾。

又比如，2010年的CMO第三題，先把它看做一個(gè)函數(shù)，然后看它的“走勢(shì)”（即導(dǎo)數(shù)），發(fā)現(xiàn)很有可能是在邊界取極值，經(jīng)過(guò)一些“不妨設(shè)”，（設(shè)b,c為實(shí)數(shù)）可以發(fā)現(xiàn)bz cz2是一個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圖形，要求其邊界上任一點(diǎn)到-a距離不足1，于是不妨a是實(shí)數(shù)。這樣abc都是實(shí)數(shù)了，后面就好做了。

或者考慮，z繞著單位園“走一圈”，bz cz2也走一圈，要選取一個(gè)a使得bz cz2邊界上任一點(diǎn)到-a距離不大于1，那么bz cz2邊界上任兩點(diǎn)距離不大于2，取恰當(dāng)?shù)膠…又是一種方法。

舉了這些例子，主要是想說(shuō)，大家做題時(shí)要明白這個(gè)題到底在讓你干什么，有一個(gè)形象化的認(rèn)識(shí)，看的越清楚越深入，越有可能把題做出來(lái)。

下面幾點(diǎn)也比較重要。

要知道一些“熟知”的結(jié)論，比如2013年CMO第五題，明顯是兩個(gè)陳題拼湊在一起，痕跡明顯。這時(shí)候，知道一些小性質(zhì)小結(jié)論會(huì)很有幫助。所謂題海戰(zhàn)術(shù)，除了刷熟練度以外，就是為了見(jiàn)多識(shí)廣一些。當(dāng)然，我本人沒(méi)有用過(guò)“題海”，我的建議是，至少要把最經(jīng)典的一些結(jié)論知道。聯(lián)賽前發(fā)過(guò)兩頁(yè)總結(jié)，提到了部分必回的結(jié)論，這里就不贅述了。

要會(huì)審題。其實(shí)跟剛才所說(shuō)“慧眼”很像，但這里更偏指從條件和結(jié)論入手，找一些突破口。比如今年的CMO第六題，結(jié)論明顯是與抽屜原理有關(guān)，所以一開(kāi)始就應(yīng)該往抽屜這邊想（當(dāng)然了，也需要進(jìn)一步的觀察）。

靈活思考。一條路走不通（當(dāng)然了，一般是過(guò)了一個(gè)小時(shí)以上毫無(wú)進(jìn)展）可以考慮嘗試其他的途徑。

四    物理競(jìng)賽學(xué)習(xí)心得

前人之述備矣。

            ——《岳陽(yáng)樓記》

還是先寫(xiě)個(gè)人經(jīng)歷。

初二開(kāi)始學(xué)物理，直接學(xué)“競(jìng)賽”內(nèi)容，就是在一個(gè)課外班學(xué)。

上了幾次課，覺(jué)得自己學(xué)得挺快，物理也挺有意思，就一直學(xué)下去了。初中大概把力電競(jìng)賽大綱的東西過(guò)了一遍，然后高一去了聯(lián)賽，被虐了，拿了50多點(diǎn)（其中還有10分是光學(xué)填空，什么正像倒像，我全都算錯(cuò)了，但是，二選一，呵呵）二等，感覺(jué)自己差的太多了。等到數(shù)學(xué)高聯(lián)失利之后，就開(kāi)始兩科競(jìng)賽同步進(jìn)行。做完了3本小綠本。這一年在外上課，學(xué)完了一遍高中物理競(jìng)賽內(nèi)容。

高二，物理高聯(lián)就是一等，數(shù)學(xué)進(jìn)了北京隊(duì)，于是果斷全力數(shù)學(xué)。

高二暑假，做了國(guó)培。

高三上半年，復(fù)賽前做復(fù)賽題，決賽前做決賽題，然后從11月開(kāi)始自學(xué)四大，普光，原子，詳見(jiàn)上一篇日志。

然后，就到現(xiàn)在了。

建議不多，就兩條：早開(kāi)始，慢慢學(xué)，把基礎(chǔ)打牢。

還有一個(gè)就是要多想，跟數(shù)學(xué)一樣，就不多說(shuō)了。

這個(gè)真心沒(méi)有太多建議，因?yàn)檎f(shuō)實(shí)話(huà)，我的精力還是放在數(shù)學(xué)上面更多。這次選擇去物理國(guó)家隊(duì)，主要原因是學(xué)完四大以后，感覺(jué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽也比較狹隘了，希望學(xué)一些大學(xué)課程，正好進(jìn)了國(guó)家隊(duì)以后可以名正言順的去學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)和物理。

關(guān)于書(shū)單之類(lèi)，我顯然毫無(wú)資格進(jìn)行推薦。粘兩同學(xué)的書(shū)單好了。

物競(jìng)吧賣(mài)萌大神漢字明月草的大學(xué)課本書(shū)單：

http://tieba.baidu.com/p/2769967690?pid=44299472217&cid=0#44299472217

話(huà)說(shuō)這貨跟我高中一直同桌，成天在旁邊看各種物理書(shū)。還記得我高二下學(xué)期有一天心血來(lái)潮看他的電動(dòng)，結(jié)果一個(gè)小時(shí)只能看3頁(yè)，還是第一章…主要▽不認(rèn)識(shí)，看附錄看了好半天…

韓兆宇小朋友作為正統(tǒng)物理競(jìng)賽修行者的經(jīng)驗(yàn)：

http://blog.renren.com/blog/277334430/916900728

如果不是大某某工的題，他也是國(guó)家隊(duì)的有力競(jìng)爭(zhēng)者。

附上我的上一篇日志。

轉(zhuǎn)眼，一個(gè)半月過(guò)去了。記得剛培訓(xùn)一周的時(shí)候，我想起之前的生活，恍如隔世；現(xiàn)在看來(lái)，集訓(xùn)隊(duì)開(kāi)始卻又像是剛剛發(fā)生的一樣。

先報(bào)一下集訓(xùn)隊(duì)里干的事。

1，完整自學(xué)刷完一遍普光和四大力學(xué)（四大題目選做大約一半），較為粗略的學(xué)了一遍數(shù)理和原子。自學(xué)后各種上課。上課后，考試前，又復(fù)習(xí)了兩遍。精力占用，85%。（成績(jī)一月中下旬出）

2，從12月起，每天晚上刷CMO真題。18天刷完全部真題，然后參加CMO，可惜有一道題沒(méi)做出來(lái)。精力占據(jù)，10%。

3，寫(xiě)各種申請(qǐng)文書(shū)，一般是夜里干的事。精力占據(jù)，5%。

為了做這些事情，我從平均22:45入睡躍升至平均0:45入睡。

不過(guò)，在集訓(xùn)隊(duì)里，說(shuō)是苦，但我其實(shí)并沒(méi)有感覺(jué)到有多苦。感覺(jué)很充實(shí)。尤其看到每天都能學(xué)那么多的東西，大有成就感。

下面對(duì)比一下數(shù)學(xué)和物理集訓(xùn)隊(duì)。

褒物理貶數(shù)學(xué)：

1，物理的培訓(xùn)，雖說(shuō)有些課并不好，但還是有一些很好的課。比如理力，熱統(tǒng)，原子。但是，數(shù)學(xué)集訓(xùn)隊(duì)的“培訓(xùn)”已經(jīng)喪失了它的意義，大部分集訓(xùn)隊(duì)員都不會(huì)去聽(tīng)大部分的課。原因在于旁聽(tīng)生過(guò)多，反客為主。

2，物理集訓(xùn)隊(duì)，由于大家都會(huì)一起上課，交流遠(yuǎn)遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)集訓(xùn)隊(duì)多。我參加完物理，認(rèn)識(shí)了至少一半的人。但是數(shù)學(xué)結(jié)束后，基本沒(méi)有認(rèn)識(shí)別的省的人。

3，物理的學(xué)習(xí)氛圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)的濃厚。

褒數(shù)學(xué)貶物理：

1，物理的看管有點(diǎn)過(guò)于嚴(yán)格。不能出校門(mén)，不能曠課，不能翹自習(xí)。但是數(shù)學(xué)就沒(méi)有看管。當(dāng)然，這也造成數(shù)學(xué)集訓(xùn)隊(duì)比較松散。希望二者都能改進(jìn)吧。

2，物理的學(xué)習(xí)考試內(nèi)容離國(guó)際賽偏差較大。當(dāng)然了，這嚴(yán)格說(shuō)來(lái)是物理競(jìng)賽的弱點(diǎn)，不能算是物理集訓(xùn)隊(duì)的。

不同點(diǎn)：

正如上述，物理TST學(xué)、考大學(xué)內(nèi)容。數(shù)學(xué)TST考更深的數(shù)學(xué)競(jìng)賽內(nèi)容。高度和深度，見(jiàn)仁見(jiàn)智吧。

最后簡(jiǎn)單說(shuō)一下我的大致生活。

早上7點(diǎn)起，假寐片刻，洗漱，下樓早餐（早餐巨黑，一個(gè)小包子一塊錢(qián)。后來(lái)有些人就買(mǎi)了面包之類(lèi)。我是下樓只買(mǎi)豆?jié){雞蛋，然后自帶面包），去教室，8:30上課，或者無(wú)課自習(xí)。一般我學(xué)一個(gè)半小時(shí)會(huì)休息10min，看小說(shuō)。11:30下課or下自習(xí)，食堂午餐，回房睡午覺(jué)。下午2-5，之后晚餐，之后6-10自習(xí)。然后回房間，開(kāi)始寫(xiě)essay。

普光，5天。理力，7天。熱統(tǒng)，7天。量子，6天。電動(dòng)，5天（之前自學(xué)過(guò)一遍）.數(shù)理&原子，在老師講課后再快速自學(xué)看書(shū)的，1天。累計(jì)整整一個(gè)月，基本是從零開(kāi)始學(xué)完大學(xué)物理基礎(chǔ)課。

關(guān)于物理競(jìng)賽，我大概會(huì)在4月，即數(shù)學(xué)集訓(xùn)隊(duì)之后再回顧，together with MO.

就這樣吧?，F(xiàn)在開(kāi)始，要準(zhǔn)備數(shù)學(xué)TST了。

五   物理競(jìng)賽心得

覽物之情，得無(wú)異乎？

                 ——《岳陽(yáng)樓記》

這個(gè)同上，心得不多。貼吧里面其他人的總結(jié)有很多。下面開(kāi)始閑扯：作為一個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽選手，覽物之情，得無(wú)異乎？

首先，基本上一般的物理題都變成列式子解方程，不管是普通方程還是微分方程，反正就是先列式子再解罷了。有了數(shù)學(xué)競(jìng)賽的代數(shù)功底，這都不難。

于是，什么是難題呢？就是模型新穎，不容易列出式子的題，或是式子列得不對(duì)就解不出來(lái)的題，或是解方程中有技巧的題，或是蘊(yùn)含高深物理背景，必須對(duì)物理知識(shí)理解透徹的題（尤其相對(duì)論）。模型就要看物理素養(yǎng)（智商），解方程就看熟練以及對(duì)幾個(gè)小技巧的掌握。當(dāng)然了，對(duì)物理本身的理解層次提升，對(duì)這幾點(diǎn)都有幫助。

下面是數(shù)學(xué)競(jìng)賽在物理中的應(yīng)用：（我至今只發(fā)現(xiàn)這么一個(gè)應(yīng)用，是必須學(xué)過(guò)數(shù)競(jìng)才能理解的）

拉普拉斯方程具有反演變換不變性。

這里的反演不是那個(gè)物理里面經(jīng)常說(shuō)的那個(gè)取相反數(shù)，是數(shù)學(xué)里面經(jīng)常說(shuō)的一種幾何變換。這個(gè)結(jié)論是我自己發(fā)現(xiàn)并證明的（為了干掉蔡老師的一道難題），可自豪了。感覺(jué)應(yīng)該是更高等定理的一個(gè)推論。

要證明的話(huà)，用反演變換的保角性和在一點(diǎn)臨域的放縮是等比例的即可。

這個(gè)結(jié)論的作用嘛…就是解決一些圓弧形導(dǎo)體的電勢(shì)分布問(wèn)題。不贅述了。

六   “兼”字訣

“楊兄弟，你的武功花樣甚多，不是我倚老賣(mài)老說(shuō)一句，博采眾家固然甚妙，但也不免駁雜不純。你最擅長(zhǎng)的到底是哪一門(mén)功夫？”

                                                           ——《神雕俠侶》

金輪法王真是前輩高手，說(shuō)的確實(shí)不錯(cuò)。同時(shí)做數(shù)學(xué)和物理兩科競(jìng)賽，相應(yīng)的投入二者中任何一個(gè)的精力都會(huì)大減，何況我高中的主項(xiàng)不是兩塊而是四塊——數(shù)學(xué)，物理，出國(guó)（TOEFL, SAT, App），課內(nèi)學(xué)習(xí)，而且不客氣的說(shuō)，四個(gè)方面中有三個(gè)都是巔峰實(shí)力（出國(guó)考試只能算頂尖實(shí)力）。所依賴(lài)的就是四個(gè)字：專(zhuān)時(shí)專(zhuān)用。

首先要有“時(shí)”可“用”。我當(dāng)然不是說(shuō)大家要天天熬到凌晨——我本人平時(shí)是從來(lái)不在10點(diǎn)后學(xué)習(xí)的。我說(shuō)的是，首先要自制。我也貪玩，特別喜歡看小說(shuō)，但是幸好既有他律又有自律，沒(méi)有墮落下去。因?yàn)樨澩娑?jìng)賽飲恨的例子太多了，要引以為戒。

然后就是“用”的技巧了。其實(shí)很簡(jiǎn)單：什么事情最急迫，就做什么事情。做一件事，就全心、全力去做。

比如，我高一的時(shí)候平常也做競(jìng)賽，但是學(xué)?？荚囍澳鞘切臒o(wú)旁騖的學(xué)課內(nèi)，認(rèn)真復(fù)習(xí)，以至于高一四次大考穩(wěn)穩(wěn)占據(jù)年級(jí)前三。

高一暑假考托福之前，有半個(gè)月，每天就是上x(chóng)df的課，回家拿著“機(jī)經(jīng)”（事實(shí)證明，只有口語(yǔ)一二題有點(diǎn)用，還有一堆錯(cuò)）開(kāi)始狂說(shuō)一通。后來(lái)要被SAT的單詞，那也是一天被3-4小時(shí)，以3 list per day 的速度推進(jìn)。

高二進(jìn)了數(shù)學(xué)北京隊(duì)，物理就放了一年，一年都在弄數(shù)學(xué)，做歷屆CMO和TST題目。

高二暑假，尤其8月份之后，由于之前數(shù)學(xué)進(jìn)集訓(xùn)隊(duì)，不必?fù)?dān)心數(shù)學(xué)高聯(lián)失手，于是開(kāi)始全力弄物理，一直到集訓(xùn)隊(duì)。

我高中三年（or 兩年半）就是這么過(guò)來(lái)的，至少就我而言這幾項(xiàng)兼顧做的還是很平衡的。只要“在正確的時(shí)間做正確的事”，應(yīng)該就能協(xié)調(diào)好。

當(dāng)然，只是個(gè)例，除非有底子有信心有興趣，否則不建議太多項(xiàng)一起做。

不過(guò)上面說(shuō)的“兼”并不是讓同學(xué)們一心只讀圣賢書(shū)。我還是有些娛樂(lè)活動(dòng)的，比如愛(ài)好讀小說(shuō)，金庸每本看了3 遍，溫瑞安的小說(shuō)都看了，劉慈欣的都看了，番茄的在上一年也都看了…還有橋牌，身屬橋牌隊(duì)總教頭胡繼超老師座下。而且雖然我橋牌打的不很好，但打牌的確給了我很多樂(lè)趣。

七    再扯幾句就沒(méi)有啦

首先說(shuō)一下，這幾天事情不少，所以這份總結(jié)出得比較晚。

數(shù)學(xué)的筆記基本上整理好了，準(zhǔn)備去復(fù)印。目前包括：上海數(shù)學(xué)夏令營(yíng)筆記，學(xué)長(zhǎng)上課的筆記，上海數(shù)學(xué)國(guó)家隊(duì)培訓(xùn)旁聽(tīng)筆記，還有我去年的國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)作業(yè)精選。等印好了再和大家聯(lián)系，先不要著急。

這幾天也有一些同學(xué)在人人上問(wèn)。首先，有人問(wèn)，怎么可以突然“開(kāi)竅”。表示我自己學(xué)數(shù)學(xué)從來(lái)沒(méi)有感覺(jué)過(guò)“突然開(kāi)竅”。都是一點(diǎn)點(diǎn)學(xué)，學(xué)技巧，然后再慢慢有所感悟，技近乎道。

要物理筆記。物理筆記慘不忍睹，就算了吧。

還有就是問(wèn)我做什么書(shū)。見(jiàn)上，我沒(méi)有資格推薦書(shū)。

關(guān)于課內(nèi)學(xué)習(xí)和出國(guó)考試學(xué)習(xí)，我就不多說(shuō)了。確實(shí)沒(méi)有什么可介紹的。

就是這樣了。還有問(wèn)題的話(huà)，私信吧。

希望我的這篇日志對(duì)大家有幫助。

記于 rdfz高八

2014.1.23