從數(shù)學(xué)故事中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦
數(shù)學(xué)是什么，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)怎么教更加重要。只有準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特點(diǎn)，才能有效地實(shí)施其教學(xué)。
我 們知道數(shù)學(xué)有三大特性，即抽象性、嚴(yán)密性和應(yīng)用的廣泛性，但在學(xué)科培訓(xùn)、教學(xué)研究中一方面我們必須從數(shù)學(xué)三大特性的高度理性地認(rèn)識數(shù)學(xué)，另一方面我們需要 對數(shù)學(xué)的特點(diǎn)有著更具體、更鮮活、更有意蘊(yùn)的理解。于是我們改編、新創(chuàng)了一組關(guān)于數(shù)學(xué)的精粹而有意蘊(yùn)的故事，期望借助數(shù)學(xué)故事引導(dǎo)學(xué)生真切地感悟數(shù)學(xué)的真 諦。
故事一：燒水的問題
有好事者提出這樣一個(gè)問題：“假如你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒些水應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”
被提問者答道：“在壺中放上水，點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”
提問者肯定了這一回答，接著追問：“如其他條件不變，只是水壺中已有了足夠的水，那你又應(yīng)當(dāng)怎樣去做？ ”
這時(shí)被提問者很有信心地答道：“點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”
但是提問者說：“物理學(xué)家通常都這么做，而數(shù)學(xué)家們則會(huì)倒去壺中的水，并聲稱已把后一問題轉(zhuǎn)化成先前的問題。”
感悟：
數(shù)學(xué)家“倒去壺中的水”似乎是多此一舉，故事的編創(chuàng)者不是要我們?nèi)?ldquo;倒去壺中的水”，而是引導(dǎo)我們感悟數(shù)學(xué)家獨(dú)特的思維方式──轉(zhuǎn)化。
學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué)不是問題解決方案的累積記憶，而是要學(xué)會(huì)把未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化成具體的問題。數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化 思想簡化了我們的思維狀態(tài)，提升了我們的思維品質(zhì)。轉(zhuǎn)化不是就事論事、一事一策，而是發(fā)掘出問題中最本質(zhì)的內(nèi)核和原型，再把新問題轉(zhuǎn)化成與已經(jīng)能夠解決的 問題。
轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)的基本思想，它應(yīng)貫穿在我們數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。
故事二：兩只羊的描述
草地上有兩只羊，在藝術(shù)家、生物學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家看來卻有不同的感受與理解，下面是他們的的描述。
藝術(shù)家：“藍(lán)天、碧水、綠草、白羊，美哉自然。”
生物學(xué)家：“雄雌一對，生生不息。”
物理學(xué)家：“大羊靜臥，小羊漫步。”
數(shù)學(xué)家：“1+1=2。”
感悟：
從故事中不同職業(yè)的人對兩只羊的描述，我們感受到藝術(shù)家對自然美的關(guān)注，生物學(xué)家對生命的關(guān)注，物理學(xué)家對運(yùn)動(dòng)與靜止的關(guān)注，而數(shù)學(xué)家從色彩、性別、狀態(tài)中抽象出數(shù)量關(guān)系：1+1=2，這是數(shù)學(xué)高度抽象性的體現(xiàn)。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要經(jīng)歷具體—表象—抽象的過程，教學(xué)時(shí)要在直觀物體和抽象概念之間構(gòu)建橋梁，從而引導(dǎo)學(xué)生把握事物最主要、最本質(zhì)的數(shù)學(xué)屬性。
抽象有一個(gè)學(xué)生經(jīng)歷的過程，而不是直接告訴學(xué)生抽象的結(jié)果。數(shù)學(xué)抽象本身又是一個(gè)不斷提高的過程，這一過程永無止境。
故事三：籬笆圍面積
一位農(nóng)夫請了工程師、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，讓他們用最少的籬笆圍出最大的面積。
工程師用籬笆圍出一個(gè)圓，宣稱這是最優(yōu)設(shè)計(jì)。
物理學(xué)家說：“將籬笆分解拉開，形成一條足夠長的直線，當(dāng)圍起半個(gè)地球時(shí)，面積最大了。”
數(shù)學(xué)家好好嘲笑了他們一番。他用很少的籬笆把自己圍起來，然后說：“我現(xiàn)在是在籬笆的外面。”
感悟：
工程師的設(shè)計(jì)是實(shí)用的、唯美的，不愧是“最優(yōu)設(shè)計(jì)”。物理學(xué)家的思維具有奇特的想象力，籬笆可無限地分解拉開，似乎圍成的面積已經(jīng)是 “最大了”。數(shù)學(xué)家是用很少的籬笆把自己圍起來，然后說：“我現(xiàn)在是在籬笆的外面。”工程師和物理學(xué)家力圖圍出最大的面積，而數(shù)學(xué)家是先圍出最小的面積。人們說，退一步海闊天空，而數(shù)學(xué)家何止是退一步，是反其道而行之。“反其道”是一種逆向思維的品質(zhì)。
逆向思維是創(chuàng)造思維的組成部分。在我們面對“山重水復(fù)”之時(shí)，逆向思考常常使我們找到“柳暗花明”之路。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)使逆向思維成為學(xué)生應(yīng)有的自覺意識和實(shí)踐行為。
故事四：蘇格蘭的羊
三位科學(xué)家由倫敦去蘇格蘭參加會(huì)議，越過邊境不久，發(fā)現(xiàn)了一只黑羊。
“啊，” 天文學(xué)家說，“原來蘇格蘭的羊是黑色的。”
“得了吧，僅憑一次觀察你可不能這么說。” 物理學(xué)家道，“你只能說那只黑色的羊是在蘇格蘭邊境發(fā)現(xiàn)的。”
“也不對，”數(shù)學(xué)家道，“由這次觀察你只能說：在這一時(shí)刻，這只羊，從我們觀察的角度看過去，有一側(cè)表面上是黑色的。”
感悟：
著名的思想家培根說過：“數(shù)學(xué)使人精確。”故事中的數(shù)學(xué)家對蘇格蘭羊的描述充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。
數(shù)學(xué)是思維的體操，語言是思維的外殼，數(shù)學(xué)的理性思維是建立在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理等數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)密界定之上的。數(shù)學(xué)語言的簡潔、精煉、嚴(yán)密的特性需要我們在平時(shí)的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中不斷地錘煉教學(xué)語言，并進(jìn)而通過數(shù)學(xué)語言的訓(xùn)練提升學(xué)生的思維品質(zhì)。
故事五：三角形的內(nèi)角和
美籍華人陳省身教授是當(dāng)代舉世聞名的數(shù)學(xué)家，他在北京大學(xué)的一次講學(xué)中語驚四座：
“人們常說，三角形內(nèi)角和等于180度。但是，這是不對的!”
大家愕然。怎么回事?三角形內(nèi)角和是180度，這不是數(shù)學(xué)常識嗎?
接著，這位老教授對大家的疑問作了精辟的解答：“說三角形內(nèi)角和為180度不對，不是說這個(gè)事實(shí)不對，而是說這種看問題的方法不對，應(yīng)當(dāng)說三角形外角和是360度。”
“把眼光盯住內(nèi)角，我們只能看到：
三角形內(nèi)角和是180度；
四邊形內(nèi)角和是360度；
五邊形內(nèi)角和是540度；
……
n邊形內(nèi)角和是(n－2)×180度。
這就找到了一個(gè)計(jì)算內(nèi)角和的公式。公式里出現(xiàn)了邊數(shù)n。如果看外角呢?
三角形的外角和是360度；
四邊形的外角和是360度；
五邊形的外角和是360度；
……
任意n邊形外角和都是360度。
這就把多種情形用一個(gè)十分簡單的結(jié)論概括起來。用一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)代替了與n有關(guān)的公式，找到了更一般的規(guī)律。”
感悟：
讀罷陳省身的故事，我們想起數(shù)學(xué)家波萊爾的一段話：“數(shù)學(xué)家的目的往往是尋求一般的解，他喜歡用幾個(gè)一般的公式來解決許多特殊的問題。”
數(shù)學(xué)教學(xué)不是羅列更多的現(xiàn)象，也不是追求更妙的技巧，而是要從更普遍的、更一般的角度尋求規(guī)律和答案。
故事六：樹上有幾只鳥
某日，老師想看看學(xué)生的智商如何，于是有了下面的對話。
老師問：“樹上有10只鳥，開槍打死1只，還剩幾只?”
學(xué)生反問：“您確定那只鳥真的被打死了嗎?”
“確定。”
“是無聲手槍嗎?”
“不是。”
“槍聲有多大?”
“80～100分貝。”
“那就是說會(huì)震得耳朵疼?”
“是。”
老師已經(jīng)不耐煩了，“拜托，你告訴我還剩幾只就行，OK?”
“OK，樹上的鳥有沒有聾子？”
“沒有。”
“有沒有關(guān)在籠子里的?”
“沒有。”
“邊上還有沒有其他的樹？樹上還有沒有其他的鳥?”
“沒有。”
“算不算懷在肚子里的小鳥？”
“不算。”
“打鳥的人眼有沒有花？保證是10只？”
“沒有花，就10只。”
老師已經(jīng)滿頭是汗，且下課鈴已響了，但學(xué)生還是追問。
“有沒有傻到不怕死的？”
“都怕死。”
“會(huì)不會(huì)一槍打死2只？”
“不會(huì)。”
“所有的鳥都可以自由活動(dòng)嗎？”
“完全可以。”
“如果您的回答沒有騙人，” 學(xué)生滿懷信心地說，“打死的鳥要是掛在樹上沒掉下來，那么就剩下1只；如果掉下來，就1只不剩。”
老師當(dāng)即暈倒……
感悟：
讀完上述故事，我們似乎也有暈倒的感覺。樹上有幾只鳥，本是一道趣味數(shù)學(xué)題。數(shù)學(xué)需要趣味，那怕這種趣味帶點(diǎn)幼稚，答案不夠周密。“趣味數(shù)學(xué)”是激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)想象、數(shù)學(xué)情趣及思維火化的有效素材。趣味數(shù)學(xué)題一旦“坐實(shí)”，就失去了生機(jī)與活力。故事中的學(xué)生似乎有點(diǎn)“走火入魔”，這會(huì)不會(huì)與我們刻板的教學(xué)有關(guān)呢？
如果開放題被肢解成一道道封閉題，就違背了開放的本意。數(shù)學(xué)需要開放，開放的目的是發(fā)散學(xué)生的思維，開放的本質(zhì)是思維。數(shù)學(xué)教育教學(xué)中需要開放，開放包括教學(xué)組織及整個(gè)設(shè)計(jì)，不可狹隘地理解為一道數(shù)學(xué)題，而是一個(gè)貫穿教學(xué)過程的主題，開放題只是載體與素材，開放應(yīng)上升為一種思想。
諸如“樹上有幾只鳥”之類的話題，您也許別有一番高見，智者見智、趣者見趣，最后還是讓我們讀讀下面兩段文字：
“甚至在數(shù)學(xué)上也是需要幻想的，甚至沒有它就不可能發(fā)明微積分。”（列寧語）
“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”（牛頓語）
